Controllo ottimo e robusto

Programma del corso

Il problema del controllo: fasi sperimentale, simulazione, teorica. Sistemi a dimensione infinita (cenni). Il ritardo di tempo. Approssimazione di Padè. A cosa serve il feedback? Richiami sul progetto del controllore. Stabilità e cancellazioni. Criterio di Nyquist e criterio di Bode. Indicatori di stabilità robusta. Specifiche di progetto. Regolatori di tipo PID. Limitazione dell'azione derivativa. Il problema dello wind-up. Schema anti wind-up. Controllo ottimo.

Formulazione del problema, funzionale di costo. Costo ottimo residuo. Principio di ottimalità. Equazioni di Hamilton-Jacobi-Bellman per sistemi a tempo discreto. Equazioni di Hamilton-Jacobi-Bellman per sistemi a tempo continuo. Controllo Lineare Quadratico (LQ) a orizzonte finito. Equazione differenziale di Riccati. Controllo LQ a orizzonte infinito. Equazione algebrica di Riccati. Teorema fondamentale del controllo LQ. Cenni sugli insiemi positivamente invarianti. Scelta dei parametri di progetto. Normalizzazione dei contributi. Penalizzazione delle uscite. Controllo LQ con "grado prescritto di stabilità". Principali risultati sul controllo LQ per sistemi a tempo discreto. Controllo ottimo e programmazione lineare. Il problema di tempo minimo. Controllo predittivo (cenni). Return difference: definizione e proprietà. Uguaglianza di Kalman-Jakubovic-Popov. Margini di fase e di guadagno garantiti dal controllo LQ. Robustezza del controllo LQ: dimostrazione alternativa tramite metodo di Lyapunov. Decomposizione ai valori singolari (SVD). Significato geometrico e proprietà di SVD. Applicazione ai sistemi algebrici lineari affetti da incertezza. Numero di condizionamento. Norme di vettore. Norme indotte di matrice. Norma di Frobenius. Proprietà delle norme di matrice. Teoria di Lyapunov e robustezza (cenni). Norme di segnale. Norme di sistema. Norma H-infinito, norma H-2, norma L-1. Calcolo della norma H-2 e della norma H-infinito. Sistemi a più ingressi e più uscite: risposta in frequenza, diagramma dei valori singolari, direzioni di massimo e minimo guadagno. Poli e zeri di sistemi a più ingressi e più uscite. Risposta in frequenza per sistemi MIMO. Diagramma dei valori singolari. Direzioni di massimo e minimo guadagno. Calcolo numerico delle norme H-2 e H-infinito. Equivalenza fra zeri invarianti e zeri della f.d.t nel caso SISO. Proprietà bloccante degli zeri, caso SISO. Proprietà bloccante degli zeri, caso MIMO. Calcolo degli zeri invarianti a partire dalla matrice di trasferimento.Il ruolo degli zeri nel controllo (cenni). Interconnessione di sistemi MIMO. Condizioni per la buona connessione. Operatore di anello chiuso. Stabilità esterna. Parametrizzazione di tutti i controllori stabilizzanti (caso di impianto stabile). Interpretazione fisica della parametrizzazione. Caso con pre-stabilizzazione. Il problema della stabilizzazione forte (cenni). Teorema di Nyquist generalizzato. Approccio moderno: ingressi di controllo, ingressi esogeni, uscite regolate, uscite misurate. Buona connessione e stabilità secondo l'approccio moderno. Prestazioni secondo l'approccio moderno. Formulazione moderna del problema di controllo. Prestazioni pesate. Condizioni di anello chiuso e di anello aperto per le prestazioni, casi SISO e MIMO. Vincoli Algebrici. Introduzione alla robustezza. Incertezza parametrica e incertezza non parametrica. Rappresentazioni dell'incertezza: additiva, moltiplicativa, feedback. Immersione. Condizioni per la stabilità robusta (SISO). Small Gain Theorem (SGT). Condizioni per la stabilità robusta (MIMO). Stabilità robusta e prestazioni. SGT e perturbazioni non lineari. Applicazione alla saturazione dell'attuatore. Applicazione alla quantizzazione. Il problema della struttura. Valore singolare strutturato. Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità robusta in presenza di perturbazioni dotate di struttura. Prestazioni robuste. Incertezza reale parametrica. Polinomi intervallari. Teorema di Kharitonov. Incertezza di tipo affine e multiaffine. Struttura dell'incertezza in presenza di feedback. Immersione in struttura affine. Politopi di polinomi. Teorema degli spigoli. Test di Bialas. Value set di funzioni di trasferimento. Criterio di stabilità robusta in anello chiuso. Value set per funzioni di trasferimento affini. Esempio: controllo PID di un motore CC. Value set per polinomi. Criterio di esclusione dello zero. Value set per polinomi affini. Dimostrazione del teorema di Kharitonov. Insieme spettrale (spectral set). Insieme spettrale (spectral set) di polinomi affini. Problema di tempo minimo. Problema di tempo minimo con vincoli sullo stato. Value set di impianto. Value set di polinomio.

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