Sistemi Dinamici

CFU: 9

 

Prerequisiti: Conoscenze di base: Elementi di analisi matematica con riferimento particolare allo studio di equazioni differenziali ed equazioni alle differenze; studio di funzioni di variabile complessa; elementi di algebra lineare; elementi di base di teoria dei sistemi dinamici a tempo continuo e tempo discreto.

 

 Contenuti

  1. Generalità

    Sistemi e modelli: definizioni, proprietà, problemi. Descrizione matematica dei sistemi. Modelli di sistemi a tempo continuo. Modelli di sistemi a tempo discreto. Funzione di transizione dello stato. Sistemi dinamici lineari. Esempi illustrativi.

     

  2. Campionamento e rappresentazione a tempo-discreto di sistemi dinamici a tempo continuo

    Teorema del campionamento e problema dell'aliasing. Determinazione di equazioni di stato e di funzioni di trasferimento a tempo discreto a partire da modelli a tempo continuo tramite campionamento.

  3. Evoluzione temporale dello stato e dell'uscita dei sistemi dinamici lineari

    Movimento dello stato e dell'uscita a tempo discreto. Modi di risposta e loro determinazione.

  4. Stabilita` dei sistemi dinamici a tempo discreto

    Stati di equilibrio e definizione di stabilità. Teorema di Lyapunov nel caso lineare e non lineare. Determinazione di modelli lineari approssimati di sistemi non lineari e analisi di stabilità dell'equilibrio.

  5. Identificazione di modelli da dati

    Problemi e metodi. Leggi e modelli nell'ingegneria e nelle scienze. Il problema della stima e della predizione da osservazioni sperimentali: modelli per la predizione, il controllo; tecniche di trattamento dei dati.

  6. Cenni su teoria della probabilità, variabili aleatorie, e processi stocastici a tempo discreto

    Principali definizioni e strumenti: stazionarietà, media, covarianza e correlazione, densità spettrale di potenza. Processi bianchi.

  7. Definizioni e proprietà sul problema della stima e della predizione

    Teoria della stima e caratteristiche degli stimatori: polarizzazione, minima varianza, caratteristiche asintotiche (convergenza in probabilità, quasi certa, confidenza)

  8. Modelli dinamici di processi stocastici stazionari a tempo discreto

    Modelli AR, MA, ARMA, ARX, ARMAX. Analisi di correlazione e analisi spettrale. Fattorizzazione spettrale canonica.

  9. Stima ai minimi quadrati

    Soluzione del problema di regressione lineare. Interpretazione geometrica. Proprietà probabilistiche: polarizzazione, varianza, caratteristiche asintotiche della stima.

  10. Stima di Bayes

    Generalità, stima ottima di Bayes, confronto con la stima lineare, stima di Bayes ricorsiva. Interpretazioni geometriche.

  11. Soluzione del problema della predizione

    Cenni alla teoria della predizione ottima. Determinazione del predittore ottimo a partire da dati osservati. Modelli e predittori AR, ARX, ARMA, MA.

  12. Identificazione di modelli dinamici stocastici a tempo discreto a partire da dati osservati

    Identificazione lineare a minimizzazione dell’errore di predizione algoritmi batch e ricorsivi ai minimi quadrati, identificazione adattativa. Stima della complessità dei modelli (criteri Cross-validazione, AIC, MDL).

  13. Stima dello stato a partire da dati osservati.

    Generalità. Cenni alle proprietà di raggiungibilità e osservabilità, e a tecniche di realizzazione. Osservatori. Stima di Kalman.

 

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