Teoria dei Sistemi e del Controllo

Programma del corso da 9 CFU

A.A. 2009/10 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRIESTE

 

PROGRAMMA DEL CORSO DI:                        Teoria dei Sistemi e del Controllo  (Corsi di Laurea Magistrali presso la sede di Trieste) [9 CFU]

 

DOCENTE TITOLARE: Prof. Thomas PARISINI

Introduzione alla Teoria dei Sistemi: definizione di sistema dinamico a tempo continuo ed a tempo discreto; esempi di sistemi dinamici; descrizione matematica di sistemi dinamici: il concetto di variabile di stato, definizione assiomatica di sistema dinamico; sistemi dinamici a dimensione finita ed a dimensione infinita: esempi; sistemi invarianti; sistemi  interconnessi; movimento dello stato e dell’uscita; definizione di equilibrio; raggiungibilità ed indistinguibilità; sistemi regolari, tempo—invarianti, strettamente propri.

Sistemi a tempo continuo e sistemi a tempo discreto: istante iniziale, memoria, causalità, stato ed uscita d’equilibrio per sistemi a tempo continuo ed a tempo discreto; il caso dei sistemi tempo—invarianti; scelta delle variabili di stato: esempi.

Sistemi dinamici lineari a tempo continuo ed a tempo discreto: proprietà: scomposizione del movimento in libero e forzato, sovrapposizione degli effetti, forma matriciale delle equazioni di stato; equilibrio per sistemi lineari a tempo continuo ed a tempo discreto; sistemi dinamici non lineari: linearizzazione (rispetto ad un movimento nominale, rispetto ad uno stato d’equilibrio nel caso di sistemi tempo –invarianti).

Movimento per sistemi dinamici lineari a tempo continuo: soluzione generale per il movimento dello stato; descrizione esterna: definizione di matrice di risposta impulsiva; calcolo del movimento per sistemi dinamici lineari tempo—invarianti; calcolo del movimento: calcolo di eAt, forma di Jordan di una matrice, il teorema di Cayley—Hamilton, modi di risposta; legame tra descrizione interna (equazioni di stato) e descrizione esterna: la matrice di funzione di trasferimento e sue proprietà.

Movimento per sistemi dinamici lineari a tempo discreto: soluzione generale per il movimento dello stato; descrizione esterna: definizione di matrice di risposta impulsiva; calcolo del movimento per sistemi dinamici lineari tempo—invarianti; calcolo del movimento: calcolo di Ak, tramite la forma di Jordan di una matrice oppure con il teorema di Cayley—Hamilton, modi di risposta; legame tra descrizione interna (equazioni di stato) e descrizione esterna: la matrice di funzione di trasferimento e sue proprietà.

Sistemi dinamici a tempo discreto ottenuti per campionamento: legame tra descrizione a tempo continuo ed a tempo discreto nel caso di sistemi lineari tempo—invarianti.

Stabilità: stabilità del movimento, rispetto a perturbazioni sullo stato iniziale o dell’ingresso; stabilità dell’equilibrio, definizioni di stabilità asintotica, stabilità uniforme, instabilità; stabilità per i sistemi dinamici regolari a dimensioni finite: da stabilità del movimento a stabilità dell’equilibrio, teorema di Malkin; stabilità dell’equilibrio: metodo diretto di Lyapunov per sistemi dinamici a tempo continuo; funzioni (semi)definite positive e (semi)definite negative; teorema di Lyapunov: applicazioni al caso di sistemi dinamici a tempo continuo; metodo diretto di Lyapunov e teorema di Lyapunov nel caso di sistemi dinamici a tempo discreto; generalizzazione del metodo al caso di sistemi tempo—varianti; metodi qualitativi per l’analisi della stabilità: metodo delle isocline, il piano delle fasi; stabilità per i sistemi dinamici lineari tempo—invarianti (LTI): stabilità ed autovalori, teorema di Lyapunov nel caso di sistemi  a tempo continuo ed a tempo discreto, analisi di stabilità nel dominio della trasformata di Laplace e della Z—trasformata, criterio di Routh—Hurwitz per sistemi a tempo continuo, criterio di Jury per sistemi a tempo discreto, uso della trasformazione bilineare e del criterio di Routh nel caso di sistemi LTI a tempo discreto; stabilità ingresso—uscita per sistemi LTI a tempo continuo ed a tempo discreto; analisi di stabilità tramite linearizzazione: criterio ridotto di Lyapunov.

 Raggiungibilità e controllabilità: definizione di stato controllabile a zero e di stato raggiungibile dallo stato nullo; il caso dei sistemi LTI: la matrice di raggiungibilità, i sottospazi di raggiungibilità e di non—raggiungibilità, invarianza del sottospazio di raggiungibilità, forma standard di controllabilità (o decomposizione canonica di controllabilità/raggiungibilità di Kalman), poli controllabili e poli non controllabili, raggiungibilità in k passi per sistemi LTI a tempo discreto, sistemi interconnessi; esempi; retroazione algebrica dello stato sull’ingresso e poli raggiungibili/non raggiungibili.

Osservabilità e ricostruibilità: definizioni; il caso dei sistemi LTI: sottospazio di non—osservabilità,  la matrice di osservabilità, invarianza del sottospazio di non—osservabilità, forma standard di osservabilità (o decomposizione canonica di Kalman di osservabilità), dualità tra osservabilità e raggiungibilità, sistema duale di un sistema LTI, poli osservabili e poli non osservabili, sistemi interconnessi; esempi; retroazione algebrica dell’uscita sull’ingresso e poli osservabili/non osservabili.

Decomposizione canonica per sistemi LTI: decomposizione canonica di Kalman per un sistema LTI a tempo continuo od a tempo discreto; individuazione delle parti raggiungibile ed osservabile, ragg. e non oss. ecc. del sistema nelle equazioni di stato e nella descrizione tramite la matrice delle funzioni di trasferimento;  retroazione algebrica dell’uscita sull’ingresso e poli raggiungibili/non raggiungibili, osservabili/non osservabili; esempi.

Realizzazione ed ordine minimo: passaggio da rappresentazione ingresso/uscita ad equazioni di stato per sistemi LTI di tipo SISO; forma compagna controllabile e forma compagna osservabile: definizioni, proprietà, dualità, algoritmi di calcolo, esempi; trasformazioni di variabili di stato verso le forme compagne; ordine minimo di un sistema LTI: definizione di realizzazione di ordine minimo (o realizzazione minima); determinazione dell’ordine minimo nel caso di sistemi LTI di tipo SISO: parametri di Markov della funzione di trasferimento, algoritmo ed esempi.

Raggiungibilità ed osservabilità di sistemi interconnessi: il caso di sistemi SISO interconnessi: connessione serie, parallelo, retroazione; richiami sull’algebra degli schemi a blocchi; analisi di raggiungibilità e di osservabilità dallo schema a blocchi; schemi a blocchi e calcolo della risposta libera di un sistema LTI; esempi.

Controllo nello spazio degli stati: retroazione dello stato: generalità;assegnazione degli autovalori per sistemi SISO: sistemi stabilizzabili, metodi per l’assegnazione degli autovalori, formula di Ackermann, cenni al caso MIMO; esempi; il caso di sistemi non completamente controllabili; il controllo LQ: definizioni, proprietà,  applicazione nel caso di sistema a tempo continuo e nel caso di sistema a tempo discreto, la matrice hamiltoniana nei due casi; esempi.

Stima dello stato: generalità; l’osservatore di Luenberger: sistemi rilevabili, scelta del guadagno dell’osservatore, uso della formula di Ackermann (per dualità); osservatore dead—beat per sistemi a tempo discreto; uso dell’osservatore nel controllo LQ: la proprietà di separazione; esempi.

Stima ottima: il filtro di Kalman: definizioni e proprietà a tempo continuo ed a tempo discreto; utilizzo del filtro di Kalman nel controllo LQ: il controllo LQG; esempi; modello stocastico dei disturbi: richiami di statistica (definizione di processo stocastico, processo gaussiano, rumore bianco); il filtro di Kalman come stimatore ottimo: cenni alla teoria della predizione e filtraggio, il filtro di Kalman come soluzione di un problema di ottimizzazione (minimizzazione), cenni alla stima di Bayes, esempi.

 

Complementi: cenni sull’uso di Matlab e Simulink per l’analisi ed il controllo dei sistemi dinamici.

Testi di riferimento consigliati (disponibili in biblioteca o presso il docente)

  • Linear Systems, Panos J. Antsaklis and Anthony N. Michel, Birkauser, 2006
  • Elementi di Automatica, G. Calafiore, CLUT, Torino, 2007
  • Teoria dei Sistemi e del Controllo, Giovanni Marro, Zanichelli, 1989
  • Teoria dei Sistemi, Sergio Rinaldi, CLUP, Milano, 1977
  • Linear Systems, Thomas Kailath, Prentice-Hall 1980

Altro materiale didattico:

Nell'area Download sono disponibili le trasparenze del corso, temi d’esame ed esercizi svolti.

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