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Il materiale del corso di "Sistemi Dinamici" per l'anno accademico 2019/2020.

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Introduzione al corso- a.a. 2019/2020:

• modalità d'esame
• testi di riferimento
• piano delle lezioni

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Generalità: sistemi dinamici e modelli

• sistemi dinamici a tempo discreto
  • generalità e definizioni
  • equazioni di stato
  • sistemi lineari tempo-invarianti
  • rappresentazioni equivalenti
  • linearizzazione
• campionamento e ricostruzione
  • il teorema di Shannon
  • il concetto di aliasing
• campionamento di sistemi dinamici tempo-invarianti
  • step invariant transform

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Movimento dello stato e dell'uscita per sistemi dinamici lineari a tempo discreto:

• Soluzione delle equazioni di stato nel caso generale
• Soluzione delle equazioni di stato nel caso di sistemi dinamici tempo invarianti
• Determinazione del movimento dello stato e dell'uscita
  • modi di risposta
  • analisi qualitativa dei modi di risposta
• Descrizione ingresso/uscita di sistemi dinamici lineari
• Descrizione esterna di sistemi lineari tempo invarianti: le funzioni di trasferimento
• Esempi di determinazione di modi di risposta

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Stabilità di sistemi dinamici a tempo discreto

• stabilità dei movimenti dello stato nel caso generale
• stabilità degli stati di equilibrio
• teorema di Lyapunov
• stabilità di sistemi dinamici lineari a tempo discreto
  • criterio di Lyapunov
  • analisi del movimento libero
  • criteri basati su autovalori
  • analisi del polinomio caratteristico
• stabilità di stati di equilibrio tramite lo studio del sistema linearizzato

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Identificazione di modelli a partire dai dati: introduzione

• Introduzione all'identificazione di modelli a partire dai dati
  • definizione di modelli "a scatola bianca" ed "a scatola nera"
• Un primo esempio di modello "a scatola nera": un'applicazione reale

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Probabilità, variabili aleatorie e processi stocastici

• Richiami di teoria della probabilità
  • variabili aleatorie
  • funzioni di densità di probabilità e funzioni cumulative di probabilità
  • variabili aleatorie correlate e v.a. indipendenti
• Processi sticastici a tempo discreto
  • Definizione di processo stocastico
  • Descrizione di un processo stocastico in generale
  • Processi stocastici stazionari
  • Processi stocastici gaussiani
  • Processi stocastici bianchi

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Stima e predizione

• Il problema della stima
  • stima parametrica ed identificazione
  • predizione, filtraggio, regolarizzazione
  • Identificazione di sistemi dinamici: il problema della predizione
  • Predittore come sistema dinamico
• Richiami alla teoria della stima ed alle caratteristiche degli stimatori
  • Concetti generali:
    • polarizzazione, minima varianza, confidenza della stima
  • caratteristiche asintotiche
    • convergenza in media quadratica
    • convergenza certa e convergenza "quasi certa"
  • esempi

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Modelli dinamici di processi stocastici stazionari a tempo discreto

• Segnali di energia e di potenza
• Rappresentazione spettrale di processi stocastici stazionari a tempo discreto
• Analisi di sistemi dinamici alimentati da processi stocastici stazionari in ingresso
  • Rumore bianco
  • Processo a media mobile (MA)
  • Processo auto-regressivo (AR)
  • Processo ARMA
• Teorema della fattorizzazione spettrale

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Stima ai minimi quadrati

• Introduzione alla stima ai minimi quadrati
  • Regressione lineare e stima ai minimi quadrati
  • Interpretazione geometrica
  • Condizioni di identificabilità
• Proprietà della stima ai minimi quadrati
  • stima ai minimi quadrati e polarizzazione
  • varianza della stima ai minimi quadrati
  • caratteristiche asintotiche: convergenza

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Stima di Bayes

• Introduzione alla stima di Bayes
• Lo stimatore ottimo bayesiano
• Stimatore ottimo di Bayes nel caso gaussiano
• Stimatore ottimo lineare
• Generalizzazione ed analisi
• Interpretazione geometrica

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Soluzione al problema della predizione

• determinazione del predittore
  • errore di predizione
  • esempi
  • predittore ad 1 passo per processi ARMA
  • predizione in presenza di ingressi esogeni
• modelli e predittori
  • predittori per modelli ARX, ARMAX, MA, ARXAR

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Identificazione basata sulla minimizzazione dell'errore di predizione (PEM)

• Identificazione basata su PEM: caratteristiche
• teoria asintotica per i metodi di identificazione basati su PEM
  • esempio
• Identificabilità
• Valutazione asintotica dell'incertezza della stima

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Algoritmo per identificazione PEM a lotti

• algoritmo di identificazione ai minimi quadrati ed a lotti
  • descrizione dell'algoritmo
  • esempi
  • analisi asintotica
  • procedura operativa
  • persistente eccitazione
• Identificabilità usando un algoritmo ai minimi quadrati
  • identificazione di un modello ARX
  • struttura della famiglia di modelli ed esempi
• Scelta della complessità del modello
  • cross-validazione
  • indici FPE, AIC, MDL

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Stima dello stato da dati osservati

• stima di Kalman
  • richiami alla stima bayesiana nel caso gaussiano
  • stima dello stato come stima bayesiana
  • predittore di Kalman
• generalizzazioni
  • predittore di Kalman r passi in avanti
  • filtro di Kalman
  • predittore di Kalman in presenza di ingressi esogeni
  • filtro di Kalman stazionario
  • esempi di convergenza della soluzione dell'equazione alle differenze di Riccati alla soluzione dell'equazione algebrica