CFU: 9
Prerequisiti: Conoscenze di base: Elementi di analisi matematica con riferimento particolare allo studio di equazioni differenziali ed equazioni alle differenze; studio di funzioni di variabile complessa; elementi di algebra lineare; elementi di base di teoria dei sistemi dinamici a tempo continuo e tempo discreto.
Contenuti
- Generalità
Sistemi e modelli: definizioni, proprietà, problemi. Descrizione matematica dei sistemi. Modelli di sistemi a tempo continuo. Modelli di sistemi a tempo discreto. Funzione di transizione dello stato. Sistemi dinamici lineari. Esempi illustrativi.
- Campionamento e rappresentazione a tempo-discreto di sistemi dinamici a tempo continuo
Teorema del campionamento e problema dell'aliasing. Determinazione di equazioni di stato e di funzioni di trasferimento a tempo discreto a partire da modelli a tempo continuo tramite campionamento.
- Evoluzione temporale dello stato e dell'uscita dei sistemi dinamici lineari
Movimento dello stato e dell'uscita a tempo discreto. Modi di risposta e loro determinazione.
- Stabilita` dei sistemi dinamici a tempo discreto
Stati di equilibrio e definizione di stabilità. Teorema di Lyapunov nel caso lineare e non lineare. Determinazione di modelli lineari approssimati di sistemi non lineari e analisi di stabilità dell'equilibrio.
- Identificazione di modelli da dati
Problemi e metodi. Leggi e modelli nell'ingegneria e nelle scienze. Il problema della stima e della predizione da osservazioni sperimentali: modelli per la predizione, il controllo; tecniche di trattamento dei dati.
- Cenni su teoria della probabilità, variabili aleatorie, e processi stocastici a tempo discreto
Principali definizioni e strumenti: stazionarietà, media, covarianza e correlazione, densità spettrale di potenza. Processi bianchi.
- Definizioni e proprietà sul problema della stima e della predizione
Teoria della stima e caratteristiche degli stimatori: polarizzazione, minima varianza, caratteristiche asintotiche (convergenza in probabilità, quasi certa, confidenza)
- Modelli dinamici di processi stocastici stazionari a tempo discreto
Modelli AR, MA, ARMA, ARX, ARMAX. Analisi di correlazione e analisi spettrale. Fattorizzazione spettrale canonica.
- Stima ai minimi quadrati
Soluzione del problema di regressione lineare. Interpretazione geometrica. Proprietà probabilistiche: polarizzazione, varianza, caratteristiche asintotiche della stima.
- Stima di Bayes
Generalità, stima ottima di Bayes, confronto con la stima lineare, stima di Bayes ricorsiva. Interpretazioni geometriche.
- Soluzione del problema della predizione
Cenni alla teoria della predizione ottima. Determinazione del predittore ottimo a partire da dati osservati. Modelli e predittori AR, ARX, ARMA, MA.
- Identificazione di modelli dinamici stocastici a tempo discreto a partire da dati osservati
Identificazione lineare a minimizzazione dell’errore di predizione algoritmi batch e ricorsivi ai minimi quadrati, identificazione adattativa. Stima della complessità dei modelli (criteri Cross-validazione, AIC, MDL).
- Stima dello stato a partire da dati osservati.
Generalità. Cenni alle proprietà di raggiungibilità e osservabilità, e a tecniche di realizzazione. Osservatori. Stima di Kalman.